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几何画板解析2017年四川攀枝花中考倒二(函数相关)

2017-10-18 福建福州 林经武 初中数学延伸课堂



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2017·攀枝花)如图,抛物线yx2bxcx轴交于AB两点,B点坐标为(30),与y轴交于点C03).

1)求抛物线的解析式;

2)点Px轴下方的抛物线上,过点P的直线yxm与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PEEF的最大值.

3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标;

②若△BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.




【图文解析】

1)简析:将点B30)、C03)代入抛物线的解析式yx2bxc,即可得到关于bc的二元一次方程组,解得b=-4c3,所以抛物线的解析式为yx24x3

 2)条件第一句,点Px轴下方的抛物线上,需注意,点P横坐标的取值范围(不妨设其横坐标为n),则1n3Pnn24n3);

过点P的直线yxm,一次函数一次项系数为1,条件反射——该直线与坐标轴夹角为45°;另一方面,直线BC,易求其解析式为y=-x3,同时,注意BC两点到原点O的距离都为3,即有△OBC为等腰直角三角形,∠OBC45°(一次函数一次项系数为-1时,该函数图象与坐标轴夹角为45°),特殊k值的特殊夹角,常常有出其不意的作用.

要求PEEF的最大值,先考虑能否将PEEF连成一条线段,而非如图中所示有重叠部分,常有思路,将其中一段,延长,截取另一段长度与其相等.




想到∠FCE45°,CBEF,过CCGy轴交FE延长线于G,则易证△GCF为等腰直角三角形,即可证EFEG,∴PEEFPEEGPG



【反思】

如何利用等腰直角三角形的特性进行边长的转换,是此题能够简便解决的关键.

3)点D为抛物线上一点,可设D2t).

BCD是以BC为直角边的直角三角形,考虑辅助圆,直径所对的圆周角是90°,D在以BD中点I为圆心,BD为直径的圆上.

②若D点在D1D2间,则∠BDC为钝角或平角,△BCD不是锐角三角形,故D点应在D1上方或D2下方.

另一方面,∠DCB、∠DBC也应为锐角,当DD1上方时,∠DBC必为锐角,只需保证∠DCB90°;当DD2下方时,∠DCB必为锐角,只需保证∠DBC90°.



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